EJERCICIOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. El tiempo necesario para que un mecánico repare una caja de velocidades de un automóvil esta dado por la función , .

Determinar la constante c para que sea una distribución de probabilidad y obtener los parámetros: media, desviación estándar y el coeficiente de variación, así como determinar y usarla para calcular y .

Repuestas

Para determinar la constante c, aplicamos la condición para una distribución densidad de probabilidad

Es más sencillo trabajarla como

=, por lo tanto asi

Es la distribución masa de probabilidad

Aplicando la integración en forma tabular

Media

En este caso

Aplicando la integración en forma tabular

o bien

Como

Desviación estándar

Coeficiente de variación

Para determinar la distribución de probabilidad acumulada, integramos la función densidad de probabilidad desde el límite inferior hasta un valor determinado de la variable aleatoria.

Cálculo de probabilidades aplicando la probabilidad del complemento.

2. Sea la variable aleatoria con una distribución masa de probabilidad

-3 6 9

Determinar la distribución de probabilidad acumulada y sus parámetros: media, desviación estándar, coeficiente de variación, coeficiente de simetría (sesgo) y el coeficiente de curtosis.

Repuestas

-3 6 9

1/6 4/6 6/6

=6, =3.873, =-0.93 y =2.04

3. En una caja hay cuatro pelotas rojas y tres blancas. Se extraen dos al azar y sin reemplazo. Si asociamos una variable aleatoria al número de pelotas rojas que se extraen de la caja.

Determinar las distribuciones masa de probabilidad y la acumulada , en sus tres formas calcular sus parámetros descriptivos: media, desviación estándar y los coeficientes de variación, de sesgo y de curtosis.

Repuestas

Para la solución nos apoyamos en un diagrama de árbol.

Probabilidad de sacar cero rojas

Probabilidad de sacar una rojas

Probabilidad de sacar dos rojas

Por lo tanto las distribuciones de probabilidad quedan:

0 1 2

Probabilidad puntual

Media

Como varianza

Desviación estándar

Sesgo

Curtosis

4. En una inmobiliaria la venta de terrenos está dada por la función

Determinar el promedio de ventas en unidades por, $10 000.00. Calcular sus parámetros descriptivos: media, desviación estándar, y coeficientes de variación de sesgo y de curtosis.

Repuestas

=, =, =0.544 y =2.5

5. En la ciudad el consumo de agua en unidades de 1 000 m³por segundo, está representado por

Determinar la distribución de probabilidad acumulada y con ella calcular las probabilidades: y .

Solución

Para determinar la distribución de probabilidad acumulada integramos la distribución densidad de probabilidad con respecto a la variable aleatoria, desde el límite inferior del intervalo de la variable aleatoria hasta un valor determinado de la variable.

Aplicando la integración en forma tabular

Aplicando la probabilidad del complemento

0.406

= (0.75)

6. Una caja contiene diez focos, de los cuales tres están defectuosos, se seleccionan tres al azar de la caja. Si asociamos una variable aleatoria al número de focos defectuosos que se sacan de la caja, obtener las distribuciones de probabilidad masa y acumulada en sus tres formas. Calcular las probabilidades siguientes: y .

Solución

0 1 2 3

0.292 0.525 0.175 0.008

0.292 0.817 0.992 1

Cálculo de probabilidades

7. Se lanzan dos dados legales, si asociamos una variable aleatoria a la diferencia de puntos de las dos caras que quedan hacia arriba. Determina las distribuciones de probabilidad masa y acumulada en sus tres formas.

Solución: Espacio muestral de posibles resultados al lanzar dos dados.

De aquí se considera (1,1)=2, (1,2) = (2,1)=3, (1,3) = (3,1) = (2,2)=4, por lo tanto y procediendo de la misma forma obtenemos:

Forma tabular

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Forma gráfica

Forma analítica

8. Dada la función

Determinar sus distribuciones de probabilidad densidad y acumulada en sus tres formas (para resolver el problema se debe determinar el valor de , de acuerdo a las condiciones para una distribución densidad de probabilidad).

9. Al encargado de un servicio de lavado de autos se le paga de acuerdo al número de vehículos que se lavan. Suponiendo que el pago que recibe es de acuerdo a la siguiente distribución de probabilidad acumulada, en unidades de $100.00.